Question

數列a_n的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*）．則數列a_n（　　）

• A、是等差數列但不是等比數列
• B、是等比數列但不是等差數列
• C、既是等差數列又是等比數列
• D、既不是等差數列又不是等比數列

Answer 1

分析：利用已知條件a_n+1=2s_n，運用遞推公式an=

sn-sn-1 n≥2 s1 n=1

轉化a_n+1與a_n之間的遞推關系a_n+1=3a_n（n≥2），但要注意n≥2，數列從第二項開始的等比數列，而a₂=2S₁=2，則可判斷該該數列是從第二項開始的等比數列，而不是等差數列．

解答：解：因為a_n+1=2S_n①
     a_n=2S_n-1（n≥2）②
①-②可得a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n
∴a_n+1=3a_n（n≥2）
∵a₁=1，a₂=2s₁=2a₁=2
所以

a2

a1

≠

a3

a2

 所以數列a_n從第二項開始的等比數列，不是等差數列
故選 D

點評：本題主要運用遞推公式轉化可得a_n+1與a_n的遞推關系，通過等差數列、等比數列的定義判斷，兩個數列判斷的共同點都是要求從第一項起任意一項與前一項的差（或比）都是同一個常數（等比數列要求常數q≠0），所以對兩個數列的判斷都要注意檢驗第一項．