Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=x²+2；則函數(shù)f（x）的值域是

{y|y＜-2或y＞2或y=0}

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)滿足f（x）＞2．由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，得到在區(qū)間（-∞，0）上f（x）為增函數(shù)且f（x）＜-2，再結(jié)合當x=0時f（0）=0，即可寫出函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：∵當x＞0時，f（x）=x²+2，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，滿足f（x）＞2，
又∵奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=x²+2，
∴當x＜0時，f（-x）=（-x）²+2=x²+2，
得f（x）=-f（-x）=-x²-2，在區(qū)間（-∞，0）上為增函數(shù)，且f（x）＜-2，
∵當x=0時，奇函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，
∴綜上所述，函數(shù)f（x）的值域是{y|y＜-2或y＞2或y=0}．
故答案為：{y|y＜-2或y＞2或y=0}

點評：本題給出函數(shù)為奇函數(shù)且給出在x＞0時的表達式，求函數(shù)的值域．著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其聯(lián)系和函數(shù)值域的求法等知識，屬于中檔題．