Question

已知橢圓C的方程為，點A、B分別為其左、右頂點，點F₁、F₂分別為其左、右焦點，以點A為圓心，AF₁為半徑作圓A；以點B為圓心，OB為半徑作圓B；若直線被圓A和圓B截得的弦長之比為；
（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知a=7，問是否存在點P，使得過P點有無數條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為；若存在，請求出所有的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線l的斜率可知直線l的傾斜角，進而可求得點A到直線l的距離，進而表示出直線l被圓A截得的弦長和被圓B截得的弦長，利用弦長之比為，求得a和c的關系，進而求得e．
（2）假設存在，設P點坐標為（m，n），過P點的直線為L，當直線L的斜率不存在時，直線L不能被兩圓同時所截，故可知直線L的斜率一定存在，進而可設直線方程，求得點A（-7，0）到直線L的距離，根據（1）的離心率求得圓A的半徑，同樣可求得圓B的半徑，則可求得直線L被兩圓截得的弦長，根據他們的比為建立等式，整理成關于k的一元二次方程，方程有無窮多解，進而求得m和n，則點P的坐標可得．
解答：解：（1）由，得直線l的傾斜角為150°，
則點A到直線l的距離，
故直線l被圓A截得的弦長為，
直線l被圓B截得的弦長為，
據題意有：，即
化簡得：16e²-32e+7=0，
解得：或，又橢圓的離心率e∈（0，1）；
故橢圓C的離心率為．

（2）假設存在，設P點坐標為（m，n），過P點的直線為L；
當直線L的斜率不存在時，直線L不能被兩圓同時所截；
故可設直線L的方程為y-n=k（x-m），
則點A（-7，0）到直線L的距離，
由（1）有，得=，
故直線L被圓A截得的弦長為，
則點B（7，0）到直線L的距離，r_B=7，
故直線L被圓B截得的弦長為，
據題意有：，即有16（r_A²-D₁²）=9（r_B²-D₂²），整理得4D₁=3D₂，
即=，
兩邊平方整理成關于k的一元二次方程得（7m²+350m+343）k²-（350m+14mn）k+7n²=0，
關于k的方程有無窮多解，
故有：，
故所求點P坐標為（-1，0）或（-49，0）．
點評：本題主要考查了橢圓的性質以及直線與橢圓、圓的關系的綜合考查．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．