Question

已知函數f(x)＝asinωx＋bcosωx部分圖像，如圖所示(a，b，ω∈R，且ω＞0)．

(1)求a，b，ω的值；

(2)設關于t的方程t²＋mt＋n＝0(m，n∈R，且m≠0)有兩個不等實數根；

①若|m|＋|n|＜1，證明f²(x)＋mf(x)＋n＝0在(－π，)內有兩個不等實數根；

②上述①的逆命題是否成立，并給出證明．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)由圖像易知函數f(x)的周期為T＝4＝2π， 　　∴ω＝1．上述函數的圖像是由y＝sinx的圖像沿x軸負方向平移個單位得到的，其解析式為f(x)＝sin(x＋)． 　　∴a＝，b＝． 　　(2)①由|m|＋|n|≤1得|m＋n|≤|m|＋|n|＜1，∴m＋n＞－1． 　　同樣|m－n|≤|m|＋|n|＜1，∴m－n＜1． 　　令g(t)＝t2＋mt＋n，顯然g(1)＝m＋n＋1＞0，g(－1)＝1－m＋n＞0． 　　而二次函數g(t)的對稱軸t＝－∈(－1，1)， 　　∴二次方程t2＋mt＋n＝0兩實根在(－1，1)中． 　　∴關于x的方程在sin2(x＋)＋msin(x＋)＋n＝0在()內有兩個不同實根． 　　②逆命題不成立． 　　反例，關于t的方程為t2＋t＋＝0， 　　顯然方程sin2(x＋)＋msin(x＋)＋n＝0在()內有兩個不等的實根，但|m|＋|n|＝＝1．