Question

3、如果已知bx²-4bx+2（a+c）=0（b≠0）有兩個相等的實數根，求證a，b，c成等差數列．

Answer 1

分析：本題考察的知識點是：韋達定理即一元二次方程根與系數的關系及等差數列的定義，要判斷a，b，c成等差數列，即判斷b-a=c-b，我們可以根據bx²-4bx+2（a+c）=0（b≠0）有兩個相等的實數根，結合韋達定理給出a，b，c之間的關系，進而得到答案．

解答：證明：∵已知bx²-4bx+2（a+c）=0（b≠0）有兩個相等的實數根，
∴（-4b）²-4b•2（a+c）=0，
又∵b≠0，
∴2b-a-c=0，
即b-a=c-b．
故a，b，c成等差數列．

點評：代數的核心內容是函數，但由于函數、不等式、方程之間的辯證關系，故我們在解決函數問題是經常要用到方程的性質，其中韋達定理是最重要的方程的性質，其內容為：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根分別為x₁，x₂，則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{c}{a}$