Question

設定義域為R的函數f（x）滿足下列條件：①對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②對任意x∈[-1，1]，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，且f（-1）=-1．若函數f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]都成立，則當a∈[-1，1]時，t的取值范圍是（　　）

• A．-2≤t≤2
• B．t≤

  1

  2

  或t=0或t≥

  1

  2

• C．-

  1

  2

  ≤t≤

  1

  2

• D．t≤-2或t=0或t≥2

Answer 1

分析：由①②和奇函數的定義、增函數的定義，判斷出是奇函數、增函數，再求出f（x）在[-1，1]上的最大值，將恒成立轉化為：t²-2at≥0對所有的a∈[-1，1]都成立，設g（a）=t²-2at，由一次函數的性質列出不等式求解．

解答：解：由f（x）+f（-x）=0得，f（x）=-f（-x），
則定義域為R的函數f（x）是奇函數，
∵對任意x∈[-1，1]，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴f（x）在[-1，1]上是增函數，
則f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）=-f（-1）=1，
∵f（x）≤t²-2at+1對所有的x∈[-1，1]都成立，
∴t²-2at≥0對所有的a∈[-1，1]都成立，
設g（a）=t²-2at，a∈[-1，1]，
則

g(1)≥0 g(-1)≥0

，∴

t2-2t≥0 t2+2t≥0

，解得t≤-2或t=0或t≥2，
故選D．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性的綜合應用，以及構造函數法解決恒成立問題．