Question

已知△ABC的角A，B，C所對的邊a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大��；
（2）若a=2，S△ABC=

3

，判斷這時三角形的形狀．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后求出cosA的值，由A為三角形內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）利用三角形面積公式列出關系式，將sinA與已知面積代入求出bc的值，再利用余弦定理列出關系式，將a，cosA及bc的值代入求出b+c的值，聯立求出b與c的值，即可做出判斷．

解答：解．（1）由正弦定理化簡已知等式得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，即

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
又A為三角形內角，
∴A=

π

3

；
（2）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，∴bc=4，
∵a=2，
∴由余弦定理得4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12，
∴b+c=4，
解得：a=b=c=2，
則△ABC為正三角形．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及誘導公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．