Question

在橢圓9x²+25y²=225上求一點P，使它到左焦點的距離等于它到右焦點距離的兩倍．

Answer 1

分析：先把橢圓方程整理才標準方程，求得a，進而根據橢圓定義及題意可求得|PF₂|，根據b和a求得c，進而求得焦點坐標，設點P的坐標，代入|PF₂|²和橢圓方程聯立后求得m和n，點P的坐標可得．

解答：解：整理橢圓方程得

x2

25

+

y2

9

=1
∴a=5
根據橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a=10
設F₁是左焦點
所以|PF₁|=2|PF₂|
所以2|PF₂|+|PF₂|=2a=10
|PF₂|=

10

3

c²=a²-b²=16
∴F₂（4，0）
設P（m，n）
∴|PF₂|²=（m-4）²+n²=（

10

3

）²
∵P在橢圓上
∴

m2

25

+

n2

9

=1
∴n²=9-

9m2

25

∴（m-4）⁴+9--

9m2

25

=

100

9

整理得（12m-125）（12m-25）=0
解得m=

125

12

，或m=

25

12

因為a=5，所以橫坐標最大是5
所以m=

25

12

，n²=

119

16

所以P（

25

12

，

119

4

）或P（

25

12

，-

119

4

）

點評：本題主要考查了橢圓的應用．本題靈活利用了橢圓的第一定義，是解題的關鍵．