Question

二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為正，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有f（2+x）=f（2-x），若f（1-2x²）＜f（1+2x-x²）則x的取值范圍是

{x|-2＜x＜0}

．

Answer 1

分析：利用恒成立的等式求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求出f（x）的單調(diào)性；通過對(duì)二次函數(shù)配方求出不等式中兩個(gè)自變量的范圍；利用函數(shù)的單調(diào)性脫去法則f，求出x的范圍．

解答：解：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有f（2+x）=f（2-x），
∴x=2是對(duì)稱軸
∵次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為正
∴f（x）在[2，+∞）遞增；在（-∞，2]遞減
∵1-2x²≤1；     1+2x-x²=-（x-1）²+2≤2
∵f（1-2x²）＜f（1+2x-x²）
∴1-2x²＞1+2x-x²
解得-2＜x＜0
故答案為：{x|-2＜x＜0}

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸、考查二次函數(shù)的單調(diào)性取決于對(duì)稱軸、考查二次函數(shù)的值域的求法、考查利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式．