Question

設F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，以F₁為圓心，且過橢圓中心的圓與橢圓的一個交點為M，若直線F₂M與圓F₁相切，則該橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

分析：由題設知F₁M=c，MF₂=2a-c，F₁F₂=2c，由直線F₂M與圓F₁相切，知∠F₁MF₂=90°．所以c²+（2a-c）²=4c²，由此能求出該橢圓的離心率．

解答：解：由題設知F₁M=c，MF₂=2a-c，F₁F₂=2c，
∵直線F₂M與圓F₁相切，
∴∠F₁MF₂=90°．
∴c²+（2a-c）²=4c²，
整理得4a²-4ac=2c²，
∴e²+2e-2=0，
解得e=

3

-1或e=-

3

-1（舍）．
故答案為：

3

-1．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地利用橢圓性質，恰當地進行等價轉化．