Question

如圖，彎曲的河流是近似的拋物線C，公路l恰好是C的準線，C上的點O到l的距離最近，且為0.4千米，城鎮P位于點O的北偏東30°處，|OP|=10千米，現要在河岸邊的某處修建一座碼頭，并修建兩條公路，一條連接城鎮，一條垂直連接公路l，以便建立水陸交通網．
（1）建立適當的坐標系，求拋物線C的方程；
（2）為了降低修路成本，必須使修建的兩條公路總長最小，請給出修建方案（作出圖形，在圖中標出此時碼頭Q的位置），并求公路總長的最小值（精確到0.001千米）

Answer 1

（1）過點O作準線的垂線，垂足為A，以OA所在直線為x軸，OA的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系…（2分）
由題意得，

p

2

=0.4…（4分）
所以，拋物線C：y²=1.6x…（6分）
（2）設拋物線C的焦點為F由題意得，P(5，5

3

)…（8分）
根據拋物線的定義知，公路總長=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…（12分）
當Q為線段PF與拋物線C的交點時，公路總長最小，
最小值為9.806千米…（16分）