Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，MN是它的內切球的一條弦（我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時，•的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，可設M、N分別是內切球在正方體左、右側面的切點，運動點P并加以觀察，可得當P與正方體的某個頂點重合時，•達到最大值；當P與正方體某個面的中心重合時，•達到最小值．由此結合數量積的計算公式，即可得到數量積•的取值范圍．
解答：解：根據題意，MN是正方體內切球的最大弦長
∴MN是內切球的直徑
設M、N分別是內切球在正方體左、右側面的切點，如圖
當P在正方體表面運動，它與正方體的某個頂點重合時，•達到最大值．
以C₁點為例，此時
•=•=•cos∠∠MC₁N=²=（）²=2；
當點P與正方體某個面的中心重合時，•達到最小值．
此時⊥，得•=0
綜上所述，得數量積•的取值范圍為[0，2]
故答案為：[0，2]
點評：本題給出正方體的內切球，求一個數量積的取值范圍．著重考查了平面向量數量積的運算和正方體的性質等知識，屬于基礎題．