Question

【題目】已知函數f（x）=x2+alnx（a為實常數）
（1）若a=﹣2，求證：函數f（x）在（1，+∞）上是增函數；
（2）求函數f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣2時，f（x）=x2﹣2lnx，x∈（0，+∞），

則f′（x）=2x﹣ = （x＞0）

由于f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，

故函數在（1，+∞）上是增函數；

（2）解：f′（x）=2x+ = （x＞0），

當x∈[1，e]時，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

①若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非負（僅當a=﹣2，x=1時，f′（x）=0），

故函數f（x）在[1，e]上是增函數，此時[f（x）]min=f（1）=1

②若﹣2e2＜a＜﹣2，當x= 時，f′（x）=0；

當1≤x＜ 時，f′（x）＜0，此時f（x）是減函數；

當 ＜x≤e時，f′（x）＞0，此時f（x）是增函數．

故[f（x）]min=f（ ）= ln（﹣ ）﹣ ．

③若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（僅當a=﹣2e2，x=e時，f'（x）=0），

故函數f（x）在[1，e]上是減函數，此時[f（x）]min=f（e）=a+e2．

綜上可知，當a≥﹣2時，f（x）的最小值為1，相應的x值為1；

當﹣2e2＜a＜﹣2時，f（x）的最小值為 ln（﹣ ）﹣ ，相應的x值為 ；

當a≤﹣2e2時，f（x）的最小值為a+e2，相應的x值為e．

（3）解：不等式f（x）≤（a+2）x，可化為a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等號不能同時取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，

因而 （x∈[1，e]）

令 （x∈[1，e]），則 ，

當x∈[1，e]時，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

從而g′（x）≥0（僅當x=1時取等號），所以g（x）在[1，e]上為增函數，

故g（x）的最小值為g（1）=﹣1，所以a的取值范圍是[﹣1，+∞）

【解析】（1）當a=﹣2時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故函數在（1，+∞）上是增函數；（2）求導f′（x）=2x+ = （x＞0），當x∈[1，e]時，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．分①a≥﹣2，②﹣2e2＜a＜﹣2，③a≤﹣2e2，三種情況得到函數f（x）在[1，e]上是單調性，進而得到[f（x）]min；（3）由題意可化簡得到 （x∈[1，e]），令 （x∈[1，e]），利用導數判斷其單調性求出最小值為g（1）=﹣1．