Question

設橢圓的左焦點為F₁（-2，0），左準線l₁與x軸交于點N（-3，0），過N點作直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若以AB為直徑的圓過點F₁，試求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題設知c=2，，由此能求出橢圓方程．
（2）當直線AB⊥x軸時，設AB的方程為y=k（x+3），由，然后由韋達定理結合題設條件進行求解．
解答：解：（1）c=2，
∴橢圓方程為（4分）
（2）當直線AB⊥x軸時，
與橢圓無公共點，∴可設AB的方程為y=k（x+3）
由
即（3k²+1）x²+18k²x+27k²-6=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有（4分）
依題設有，
即（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0（2分）x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+k²[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=0（k²+1）x₁x₂+（3k²+2）（x₁+x₂）+9k²+4=0（4分）
將
∴時問題的解
∴AB的方程為（2分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，注意挖掘題設中的隱含條件．