Question

在一次籃球練習中，規定每人最多投籃5次，若投中2次就為及格．若投中3次就為良好并停止投籃．已知甲每次投籃中的概率是

2

3

．
（1）求甲投了3次而不及格的概率．
（2）設甲投籃中的次數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（1）甲投3次而不及格，即前3次中只有1次投中或者3次都沒有投中，其概率為P=(

1

3

)3+

C

1 3

(

1

3

)2

2

3

，運算求得結果．
（2）依題意，ξ的可以取值0，1，2，3，分別求得可得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P（ξ=2）、P（ξ=3）的值，可得隨機變量ξ的概率分布列及數學期望E（ξ）．

解答：解：（1）甲投3次而不及格，即前3次中只有1次投中或者3次都沒有投中，其概率為P=(

1

3

)3+

C

1 3

(

1

3

)2

2

3

=

7

27

．…（4分）
（2）依題意，ξ的可以取值0，1，2，3，可得P(ξ=0)=(

1

3

)5=

1

243

，p(ξ=1)=

C

1 5

(

1

3

)4

2

3

=

10

243

，p(ξ=2)=

C

2 5

(

1

3

)3(

2

3

)2=

40

243

，
P（ξ=3）=(

2

3

)3+

C

2 3

•(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

2 4

•(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

=

64

81

，…（8分）
所以，隨機變量ξ的概率分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 243	10 243	40 243	64 81

…（10分）
所以數學期望 E（ξ）=0×

1

243

+1×

10

243

+2×

40

243

+3×

64

81

=

74

27

…（12分）

點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，離散型隨機變量的分布列、離散型隨機變量的期望，屬于中檔題．