Question

在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)m，n，求關(guān)于x的一元二次方程x2-

n

x+m=0有實根的概率．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出（m，n）對應(yīng)圖形的面積，及滿足條件“關(guān)于x的一元二次方程x²-

n

•x+m=0有實根”的點對應(yīng)的圖形的面積，然后再結(jié)合幾何概型的計算公式進行求解．

解答：解：在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸和y軸分別表示m，n的值，因為m，n是（0，1）中任意取的兩個數(shù)，所以點（m，n）與右圖中正方形內(nèi)的點一一對應(yīng)，
即正方形內(nèi)的所有點構(gòu)成全部試驗結(jié)果的區(qū)域．
設(shè)事件A表示方程x2-

n

x+m=0有實根，
則事件A={(m，n)|

n-4m≥0 0≤m≤1 0≤n≤1

}，
所對應(yīng)的區(qū)域為右圖中的陰影部分，且陰影部分的面積為

1

8

．
故由幾何概型公式得P（A）=

S三角形

S四邊形

=

1

8

，即關(guān)于x的一元二次方程x2-

n

x+m=0有實根的概率為

1

8

．

點評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=N（A）/N求解．