Question

等邊三角形ABC的邊長為3，點D、E分別是邊AB、AC上的點，且滿足（如圖1）．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，連結A₁B、A₁C （如圖2）．

（1）求證：A₁D丄平面BCED；
（2）在線段BC上是否存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60⁰？若存在，求出PB的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵正△ABC的邊長為3，且==
∴AD=1，AE=2，
△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得
DE==
∵AD²+DE²=4=AE²，∴AD⊥DE．
折疊后，仍有A₁D⊥DE
∵二面角A₁-DE-B成直二面角，∴平面A₁DE⊥平面BCDE
又∵平面A₁DE∩平面BCDE=DE，A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE
∴A₁D丄平面BCED；
（2）假設在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°
如圖，作PH⊥BD于點H，連接A₁H、A₁P
由（1）得A₁D丄平面BCED，而PH?平面BCED
所以A₁D丄PH
∵A₁D、BD是平面A₁BD內的相交直線，
∴PH⊥平面A₁BD
由此可得∠PA₁H是直線PA₁與平面A₁BD所成的角，即∠PA₁H=60°
設PB=x（0≤x≤3），則BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x
在Rt△PA₁H中，∠PA₁H=60°，所以A₁H=，
在Rt△DA₁H中，A₁D=1，DH=2-x
由A₁D²+DH²=A₁H²，得1²+（2-x）²=（x）²
解之得x=，滿足0≤x≤3符合題意
所以在線段BC上存在點P，使直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°，此時PB=．
分析：（1）等邊△ABC中，根據得到AD=1且AE=2，由余弦定理算出DE=，從而得到AD²+DE²=AE²，所以AD⊥DE．結合題意得平面A₁DE⊥平面BCDE，利用面面垂直的性質定理，可證出A₁D丄平面BCED；
（2）作PH⊥BD于點H，連接A₁H、A₁P，由A₁D丄平面BCED得A₁D丄PH，所以PH⊥平面A₁BD，可得∠PA₁H是直線PA₁與平面A₁BD所成的角，即∠PA₁H=60°．設PB=x（0≤x≤3），分別在Rt△BA₁H、Rt△PA₁H和Rt△DA₁H中利用三角函數定義和勾股定理，建立等量關系得1²+（2-x）²=（x）²，解之得x=，從而得到在BC上存在點P且當PB=時，直線PA₁與平面A₁BD所成的角為60°．
點評：本題給出平面翻折問題，求證直線與平面垂直并探索了直線與平面所成角的問題，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質和直線與平面所成角的求法等知識，屬于中檔題．