Question

（1）求離心率為

5

3

，且與雙曲線

x2

4

-y2=1有公共焦點的橢圓的標準方程．
（2）求一條漸近線為2x+3y=0且焦點到漸近線的距離為2的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，可得c=

a2-b2

=

5

且

c

a

=

5

3

，聯解可得a、b的值，從而得到所求橢圓的方程；
（2）設雙曲線的標準方程為4x²-9y²=λ，根據λ＞0和λ＜0時兩種情況加以討論，分別解關于λ的方程，可得λ的值，代入所設方程再化成標準方程，即可得到所求雙曲線的標準方程．

解答：解：（1）∵橢圓與雙曲線

x2

4

-y2=1有公共焦點，且雙曲線的焦點為（±

5

，0），
∴設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，滿足a²-b²=5…①
又∵橢圓離心率為

5

3

，∴

c

a

=

5

3

…②
聯解①②，得

a=3 b=2

，故所求橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1
（2）∵雙曲線的一條漸近線方程為2x+3y=0，
∴設其標準方程為4x²-9y²=λ，
化成標準方程為

x2

λ 4

-

y2

λ 9

=1（λ＞0）或

y2

- λ 9

-

x2

- λ 4

=1（λ＜0）
∵雙曲線焦點到漸近線的距離為2，可得b=2
∴當λ＞0時，

λ

9

=4可得λ=36，雙曲線標準方程為

x2

9

-

y2

4

=1；
當λ＜0時，-

λ

4

=4可得λ=-16，雙曲線標準方程為

y2

16 9

-

x2

4

=1
綜上所述，雙曲線的標準方程為

x2

9

-

y2

4

=1或

y2

16 9

-

x2

4

=1

點評：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的標準方程，著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．