Question

“城中觀(guān)海”是近年來(lái)國(guó)內(nèi)很多大中型城市內(nèi)澇所致的現(xiàn)象，究其原因，除天氣因素、城市規(guī)劃等原因外，城市垃圾雜物也是造成內(nèi)澇的一個(gè)重要原因．暴雨會(huì)沖刷城市的垃圾雜物一起進(jìn)入下水道，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在不考慮其它因素的條件下，某段下水道的排水量V（單位：立方米/小時(shí)）是雜物垃圾密度x（單位：千克/立方米）的函數(shù)．當(dāng)下水道的垃圾雜物密度達(dá)到2千克/立方米時(shí)，會(huì)造成堵塞，此時(shí)排水量為0；當(dāng)垃圾雜物密度不超過(guò)0.2千克/立方米時(shí)，排水量是90立方米/小時(shí)；研究表明，0.2≤x≤2時(shí)，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤2時(shí)，求函數(shù)V（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)垃圾雜物密度x為多大時(shí)，垃圾雜物量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某段下水道的垃圾雜物量，單位：千克/小時(shí)）f（x）=x•V（x）可以達(dá)到最大，求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，對(duì)x進(jìn)行分段求解，當(dāng)0≤x≤0.2，V（x）=90，當(dāng)0.2≤x≤2時(shí)，利用待定系數(shù)法，求出V（x）=-50x+100，最后用分段函數(shù)表示出V（x）即可；
（2）表示出f（x）的解析式為分段函數(shù)，對(duì)0≤x≤0.2上的函數(shù)利用單調(diào)性求最大值，對(duì)0.2≤x≤2上的函數(shù)運(yùn)用基本不等式求最大值，比較兩段的最大值，即可得到答案．

解答：解：（1）∵當(dāng)垃圾雜物密度不超過(guò)0.2千克/立方米時(shí)，排水量是90立方米/小時(shí)，
∴V（x）=90，0≤x≤0.2，
∵0.2≤x≤2時(shí)，排水量V是垃圾雜物密度x的一次函數(shù)，
∴設(shè)為V（x）=mx+n，將（0.2，90），（2，0）代入得：

0.2m+n=90 2m+n=0

，解得m=-50，n=100，
∴V（x）=-50x+100，0.2≤x≤2，
∴

V(x)= 90(0≤x≤0.2) -50x+100(0.2＜x≤2)

；
（2）由題意可得f(x)=x•V(x)=

90x(0≤x≤0.2) -50x(x-2)(0.2＜x≤2)

，
當(dāng)0≤x≤0.2時(shí)，f（x）=90x，最大值為1.8千克/小時(shí)，
當(dāng)0.2≤x≤2時(shí)，f（x）=50x（2-x）≤50（x=1時(shí)取等號(hào)），
∴當(dāng)雜物垃圾密度x=1千克/立方米，f（x）取得最大值50千克/小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解題中考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查了分段函數(shù)的解析式以及最值問(wèn)題．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于中檔題．