Question

設函數f（x）=lnx-px+1，其中p為常數．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）當p＞0時，若對任意的x＞0，恒有在f（x）≤0，求p的取值范圍；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求定義域，在函數定義域內連續可導，討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點．
（2）要使f（x）≤0恒成立，只需求函數的最大值，而該函數的最大值就是極大值即可．
（3）先令p=1，由（2）知，lnx-x+1≤0，從而有lnn²≤n²-1，再進行求和，利用放縮法，然后用立項求和的方法進行求和即可得證．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-px+1定義域為（0，+∞），
∴，
當p≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上無極值點
當p＞0時，令f'（x）=0，∴x=∈（0，+∞），f'（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：

從上表可以看出：當p＞0時，f（x）有唯一的極大值點
（Ⅱ）當p＞0時，在處取得極大值，此極大值也是最大值，
要使f（x）≤0恒成立，只需，
∴p≥1
∴p的取值范圍為[1，+∞）
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，lnx-x+1≤0，
∴lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2
∴lnn²≤n²-1，
∴
∴==
=
∴結論成立
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數恒等式與函數不等式問題，屬于難題，得分率不高．