Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC的中點，點N在CC₁上．
（1）試確定點N的位置，使AB₁⊥MN；
（2）當AB₁⊥MN時，求二面角M-AB₁-N的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意及平面ABC⊥平面BB₁C₁C且交線為BC，利用面面垂直的性質定理得AM⊥平面BB₁C₁C，進而得到線線線垂直，在Rt△B₁BM與Rt△MCN中利用條件得到N為C₁C四等分點（靠近點C）；
（2）由（1）的證明過程知道∠MEN為二面角M-AB₁-N的平面角，然后利用三角形解出二面角的大小．

解答：解：（1）連接MA、B₁M，過M作MN⊥B₁M，且MN交CC₁點N，
在正△ABC中，AM⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，
∴AM⊥平面BB₁C₁C，
∵MN?平面BB₁C₁C，
∴MN⊥AM．
∵AM∩B₁M=M，
∴MN⊥平面AMB₁，∴MN⊥AB₁．
∵在Rt△B₁BM與Rt△MCN中，
易知∠NMC=∠BB₁M，
∴tan∠NMC=

NC

MC

，∴NC=tan∠BB₁M=

1

2

，
即N為C₁C四等分點（靠近點C）．
（2）過點M作ME⊥AB₁，垂足為R，連接EN，
由（1）知MN⊥平面AMB₁，
∴EN⊥AB₁，
∴∠MEN為二面角M-AB₁-N的平面角．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BB₁=BC=2，
∴AB₁=2

2

，AM=

3

，B1M=

5

．
由AM⊥平面BC₁，知AM⊥B₁M．
在Rt△AMB₁中，ME=

AM•B1M

AB1

=

3 × 5

2 2

=

30

4

，
又MN=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，
故在Rt△EMN中，tan∠MEN=

MN

ME

=

6

3

，
故二面角M-AB₁-N的大小為arctan

6

3

．

點評：此題重點考查了面面垂直的判定定理及性質定理，還考查了線面垂直的判定定理及性質定理，還有二面角的平面角的概念，及在三角形求解角的大小的計算能力及空間想象的能力．