Question

已知數列{a_n}為等差數列，其前n項和為S_n，且S_n=2n²-n，數列{b_n}是各項都為正數的等比數列，且b₁=1，b₁+b₂+b₃=13．
（1）求a₃及數列{b_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}的前n項和為T_n，試求滿足T_n≤a₃₁的n的集合．

Answer 1

分析：（1）利用S_n=2n²-n，通過a₃=S₃-S₂，求a₃，設出公比利用b₁+b₂+b₃=13，求出公比即可求解數列{b_n}的通項公式；
（2）求出a₃₁的值，求出數列{b_n}的前n項和T_n，利用T_n≤a₃₁得到n的不等式，求出n的集合．

解答：解：（1）因為S_n=2n²-n，所以a₃=S₃-S₂=2×3²-3-（2×2²-2）=9…（2分）
依題意設等比數列{b_n}的公比為q （q＞0），由b₁=1，b₁+b₂+b₃=13得：1+q+q²=13，
即q²+q-12=0，解得q=3或q=-4，…（4分）
因為q＞0，所以q=3，所以b_n=3^n-1…（6分）
（2）a₃₁=S₃₁-S₃₀=2×31²-31-（2×30²-30）=121…（8分）
Tn=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

，…（10分）
由T_n≤a₃₁得：

3n-1

2

≤121，
所以3ⁿ≤243=3⁵，所以n≤5，…（12分）
又因為n∈N*，所以n=1，2，3，4，5；…（13分）
所以滿足T_n≤a₃₁的n的集合為{1，2，3，4，5}．…（14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查數列通項公式的求解，不等式的解法，考查轉化思想，計算能力．