Question

已知P為橢圓和雙曲線的一個交點，F₁，F₂為橢圓的焦點，那么∠F₁PF₂的余弦值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由橢圓和雙曲線方程，可知兩條圓錐曲線共焦點，P為橢圓與雙曲線的交點，根據橢圓與雙曲線的定義，可求出P到
F₁，F₂距離，在三角形PF₁F₂中，應用余弦定理，就可求出∠F₁PF₂的余弦值．
解答：解：∵橢圓，∴橢圓中c=，
∵雙曲線，∴雙曲線中c=，∴橢圓與雙曲線共焦點，
∵P為橢圓和雙曲線的一個交點，不妨設P點在雙曲線右支上，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|-|PF₂|=2，∴∴|PF₁|=3，∴|PF₂|=1，|F₁F₂|=2
在△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂==-
故答案為-
點評：本題主要考查了橢圓與雙曲線的定義和性質，以及焦點三角形中，余弦定理的考查，屬于常規題．