Question

如圖,在正△ABC中,點D,E分別在邊AC, AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于點F.

（Ⅰ）求證:A,E,F, D四點共圓；
（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).

試題分析：(Ⅰ)根據圓內接四邊形判定定理，只需說明對角互補即可，由已知數量關系，可證明，故，所以，所以四點共圓；(Ⅱ)四邊形的外接圓問題 可轉化為其中三個頂點確定的外接圓問題解決，取的中點,連接則容易證
，則的外接圓半徑為，也是四邊形的外接圓半徑.
試題解析：(Ⅰ)證明:∵, ∴ , ∵在正中, , ∴,
又∵,, ∴, ∴, 即,所以四點共圓.
(Ⅱ)解:如圖, 取的中點,連接,則, ∵, ∴,

∵,∴,又, ∴為正三角形, ∴,即, 所以點是外接圓的圓心,且圓G的半徑為2. 由于四點共圓,即四點共圓,其半徑為.