Question

在正三棱錐P-ABC（頂點在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，過A作與PB，PC分別交于D和E的截面，則截面△ADE的周長的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：畫出正三棱錐P-ABC側面展開圖，將問題轉(zhuǎn)化為求平面上兩點間的距離最小值問題，不難求得結果．
解答：解：三棱錐的側面展開圖，如圖，
△ADE的周長的最小值為AA₁，
在△PAB中，sin∠APB=，∴cos∠APB=1-2sin²∠APB=，
在△APA₁中，∴sin∠APA₁=sin（∠APB+∠APB）=sin∠APBcos∠APB+cos∠APBsin∠APB=+×=，
所以AA₁=2PA×sin∠APA₁=11，
故答案為：11．
點評：本題考查的知識點是棱錐的結構特征，其中將三棱錐的側面展開，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點之間的距離問題，是解答本題的關鍵．