Question

（2010•深圳模擬）設函數f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈[-1，1]）．
（1）若t＞0，求f（x）的最小值h（t）；
（2）對于（1）中的h（t），若t∈（0，2]時，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將函數進行配方，然后討論對稱軸與區間[-1，1]的位置關系，然后研究函數的單調性，從而求出函數的最小值；
（2）令g（t）=h（t）+2t，然后研究函數g（x）的單調性求出函數g（x）的最大值，欲使h（t）＜-2t+m²+4m在（0，2]內恒成立，等價于g（t）＜m²+4m在（0，2]內恒成立，即可g（t）_max＜m²+4m，然后解不等式即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=t（x+t）²-t³+t-1，
①若-t＜-1，即t＞1時，f（x）在[-1，1]上單調遞增，f（x）的最小值為f（-1）=-2t²+2t-1；
②若-1≤-t＜0，即0＜t≤1時，則f（x）在[-1，1]上的最小值為f（-t）=-t³+t-1；
∴h(t)=

-t3+t-1 -2t2+2t-1

t∈(0， 1]   t∈(1，+∞)

．                （6分）
（2）令g（t）=h（t）+2t=

-t3+3t-1 -2t2+4t-1

t∈(0， 1]   t∈(1， 2]

．  （7分）
①0＜t≤1時，由g′（t）=-3t²+3≥0，
∴g（t）在（0，1]單調遞增；（9分）
②1＜t≤2時，g（t）=-2t²+4t-1=-2（t-1）²+1g（t）在（1，2]上單調遞減，
由①、②可知，g（t）在區間（0，2]上的最大值為g（1）=1．（11分）
所以h（t）＜-2t+m²+4m在（0，2]內恒成立，等價于g（t）＜m²+4m在（0，2]內恒成立，
即只要1＜m²+4m，
解m²+4m-1＞0得：m＜-2-

5

或m＞-2+

5

所以m的取值范圍為(-∞， -2-

5

)∪(-2+

5

， +∞)．        （14分）

點評：本題主要考查了函數的單調性，以及函數恒成立問題和一元二次不等式的解法，同時考查了等價轉化的思想，屬于中檔題．