Question

（2011•順義區二模）已知函數f(x)=2sinxcosx+

3

cos2x，x∈R
（1）求函數f（x）（2）的最小正周期；
（2）求f（x）在區間上的最小值及f（x）取最小值時x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，平方關系，兩角和的正弦函數，化簡函數y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，為一個角的一個三角函數的形式，然后利用三角函數的周期公式求出最小正周期，
（2）先求出整體角的范圍，然后利用三角函數的有界性求出三角函數的最大值、最小值．

解答：解：（1）f(x)=2sinxcosx+

3

cos2x=sin2x+

3

cos2x=2(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)=2sin(2x+

π

3

)…（5分）
所以函數f（x）的最小正周期為π．            …（6分）
（2）由-

π

6

≤x≤

π

2

得0≤2x+

π

3

≤

4π

3

，…．（9分）
所以當2x+

π

3

=

4

3

π時，即x=

π

2

時，函數f（x）取得最小值，且最小值為  -

3

故函數f（x）在區間[-

π

6

，

π

2

]上的最小值為-

3

，此時x=

π

2

．…．（13分）

點評：本題主要考查三角函數的最小正周期的求法．一般先將原函數化簡為：y=Asin（ωx+φ）的形式．