Question

正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長為a,在側棱BB₁上截取BD=,在側棱CC₁上截取CE=a,過A、D、E作棱柱的截面.

（1）求證：截面ADE⊥側面ACC₁A₁；

（2）求截面面積.

Answer 1

（1）證明:延長ED、CB交于F，連結AF，

∵DB∥EC，

∴.

∴FB=BC=AB.

∴∠FAC=90°，即FA⊥AC.

又FA⊥A₁A，

∴FA⊥側面AA₁C₁C.由FA截面ADE，

∴截面ADE⊥側面ACC₁A₁.

（2）解析:在Rt△FAC中，AC=a,FC=2a,

∴AF=a.又D為Rt△FAE斜邊EF的中點，

∴S_△ADE=.

小結：解決棱柱中點、線、面的問題常根據第一單元的基本知識解決，證明截面ADE⊥側面ACC₁A₁，只要按判定定理證明就可以了.本題也可這樣解決：取CE的中點，AE的中點，證明平面ADE⊥平面ACC₁A₁.