Question

對于定義域為[0，1]的函數f（x），如果同時滿足以下三條：①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，則稱函數f（x）為理想函數．
（1）若函數f（x）為理想函數，求f（0）的值；
（2）判斷函數g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否為理想函數，并予以證明；
（3）若函數f（x）為理想函數，假定?x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求證f（x）=x．

Answer 1

【答案】分析：（1）取x₁=x₂=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．
（2）g（x）=2^x-1在[0，1]滿足條件①g（x）≥0，也滿足條件②g（1）=1．若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，滿足條件③，收此知故g（x）理想函數．
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導出f（x）=x．
解答：解：（1）取x₁=x₂=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0．（1分）
又由條件①f（0）≥0，故f（0）=0．（3分）
（2）顯然g（x）=2^x-1在[0，1]滿足條件①g（x）≥0；（4分）
也滿足條件②g（1）=1．（5分）
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
則=，即滿足條件③，（8分）
故g（x）理想函數．（9分）
（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．（11分）
若x＜f（x），則f（x）≤f[f（x）]=x，前后矛盾；（13分）
若x＞f（x），則f（x）≥f[f（x）]=x，前后矛盾．（15分）
故x=f（x）．（16分）
點評：本題考查函數值的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設的中的隱含條件，注意性質的靈活運用．