Question

已知函數f（x）=lg（x+

a

x

-2），其中a是大于0的常數．
（1）當a∈（1，4）時，求函數f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（2）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對g（x）=x+

a

x

-2，利用導數研究g（x）單調性，再利用復合函數的單調性進行求解；
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，只要求出f（x）的最大值即可，利用導數研究f（x）的最值；

解答：解：（1）設g（x）=x+

a

x

-2，當a∈（1，4），x∈[2，+∞）時
則g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

＞0恒成立，
∴g（x）=x+

a

x

-2在[2，+∞）上是增函數
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上是增函數，
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上的最小值為f（2）=lg

a

2

   …6分
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立…8分
∴a＞3x-x²，而h（x）=3x-x²=-（x-

3

2

）²+

9

4

在x∈[2，+∞）上是減函數 …10分
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2；

點評：此題主要考查函數的恒成立問題，利用了常數分離法，這也是高考常用的方法，本題是一道中檔題；