【題目】春季氣溫逐漸攀升,病菌滋生傳播快,為了確保安全開學,學校按30名學生一批,組織學生進行某種傳染病毒的篩查,學生先到醫務室進行血檢,檢呈陽性者需到防疫部門]做進一步檢測.學校綜合考慮了組織管理、醫學檢驗能力等多萬面的因素,根據經驗,采用分組檢測法可有效減少工作量,具體操作如下:將待檢學生隨機等分成若干組,先將每組的血樣混在一起化驗,若結果呈陰性,則可斷定本組血樣合格,不必再做進一步的檢測;若結果呈陽性,則本組中的每名學生再逐個進行檢測.現有兩個分組方案:方案一:將30人分成5組,每組6人;方案二:將30人分成6組,每組5人.已知隨機抽一人血檢呈陽性的概率為0.5%,且每個人血檢是否呈陽性相互獨立.
(Ⅰ)請幫學校計算一下哪一個分組方案的工作量較少?
(Ⅱ)已知該傳染疾病的患病率為0.45%,且患該傳染疾病者血檢呈陽性的概率為99.9%,若檢測中有一人血檢呈陽性,求其確實患該傳染疾病的概率.(參考數據:(,
)
【答案】(Ⅰ)方案一工作量更少.(Ⅱ)0.8991
【解析】
(Ⅰ)設方案一中每組的化驗次數為X,則X的取值為1、7,分別求出相應的概率,求出,從而方案一的化驗總次數的期望值為:
次.設方案二中每組的化驗次數為Y,則Y的取值為1、6,分別求出相應的概率,求出
.從而方案二的化驗總次數的期望為
次.由此能求出方案一工作量更少.
(Ⅱ)設事件A:血檢呈陽性,事件B:患疾病,由題意得,
,
,由此利用條件概率能求出該職工確實患該疾病的概率.
解:(1)設方案一中每組的化驗次數為X,則X的取值為1,7,
,
∴X的分布列為:
X | 1 | 7 |
P | 0.970 | 0.030 |
.
故方案一的化驗總次數的期望值為:次.
設方案二中每組的化驗次數為Y,則Y的取值為1,6,
,
,
∴Y的分布列為:
Y | 1 | 6 |
P | 0.975 | 0.025 |
.
∴方案二的化驗總次數的期望為次.
∵,
∴方案一工作量更少.
(2)設事件A:血檢呈陽性,事件B:患疾病,
則由題意得,
,
,
由條件概率公式可得
,
∴該職工確實患該疾病的概率.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線
的參數方程為
(
為參數),直線
的參數方程為
(
為參數),設直線
與
的交點為
,當
變化時點
的軌跡為曲線
.
(1)求出曲線的普通方程;
(2)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線
的極坐標方程為
,點
為曲線
上的動點,求點
到直線
的距離的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為了調查一款手機的使用時間,研究人員對該款手機進行了相應的測試,將得到的數據統計如下圖所示:
并對不同年齡層的市民對這款手機的購買意愿作出調查,得到的數據如下表所示:
愿意購買該款手機 | 不愿意購買該款手機 | 總計 | |
40歲以下 | 600 | ||
40歲以上 | 800 | 1000 | |
總計 | 1200 |
(1)根據圖中的數據,試估計該款手機的平均使用時間;
(2)請將表格中的數據補充完整,并根據表中數據,判斷是否有99.9%的把握認為“愿意購買該款手機”與“市民的年齡”有關.
參考公式:,其中
.
參考數據:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】2013年華人數學家張益唐證明了孿生素數猜想的一個弱化形式.孿生素數猜想是希爾伯特在二十世紀初提出的23個數學問題之一.可以這樣描述:存在無窮多個素數,使得
是素數,稱素數對
為孿生素數.在不超過15的素數中,隨機選取兩個不同的數,其中能夠組成孿生素數的概率是( ).
A.B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線
,以坐標原點
為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
.
(Ⅰ)求曲線被直線
截得的弦長;
(Ⅱ)與直線垂直的直線
與曲線
相切于點
,求點
的直角坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設數列對任意
都有
(其中
、
、
是常數) .
(Ⅰ)當,
,
時,求
;
(Ⅱ)當,
,
時,若
,
,求數列
的通項公式;
(Ⅲ)若數列中任意(不同)兩項之和仍是該數列中的一項,則稱該數列是“封閉數列”.當
,
,
時,設
是數列
的前
項和,
,試問:是否存在這樣的“封閉數列”,使得對任意
,都有
,且
.若存在,求數列
的首項
的所有取值;若不存在,說明理由.
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