Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)均為2，D是棱AB的中點(diǎn)，
（1）求證AC₁∥面CDB₁；
（2）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用三角形的中位線定理先作出異面直線所成的角，再使用余弦定理即可求出．

解答：證明：（1）如圖所示：
理解對(duì)角線BC₁、CB₁交于點(diǎn)M，連接MD．
∵側(cè)面BB₁C₁C是正方形，∴BM=MC₁．
又BD=DA，∴DM∥AC₁．
又∵AC₁?平面CDB₁，DM?平面CDB₁．
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）由（1）可知：DM∥AC₁，∴∠DMB₁或其補(bǔ)角為異面直線AC₁與CB₁所成的夾角．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)及側(cè)棱長(zhǎng)均為2，
∴DM=

1

2

AC1=

1

2

×2

2

=

2

，MB1=

1

2

CB1=

1

2

×2

2

=

2

，DB1=

12+22

=

5

．
在△DMB₁中，由余弦定理得cos∠DMB₁=

2×( 2 )2-( 5 )2

2× 2 × 2

=-

1

4

．
∵異面直線所成的角為銳角或直角，
∴異面直線AC₁與CB₁所成的夾角的余弦值為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定定理及異面直線所成的角是解題的關(guān)鍵．