Question

已知拋物線（）焦點為，其準線與軸交于點，以、為焦點，離心率為的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為．

（1）當時，求橢圓的標準方程及其右準線的方程；

（2）用表示P點的坐標；

（3）是否存在實數，使得的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)   (2)  (3) 存在實數m使的邊長是連續的自然數

解析:

∵的右焦點   ∴橢圓的半焦距，又，∴橢圓的長半軸的長，短半軸的長.  橢圓方程為. ------4分

（Ⅰ）當時，故橢圓方程為-------5分

(直接將m=1的值代入條件求對也給5分)

右準線方程為：. ---------------6分

（Ⅱ）由，解得：…………10分

（Ⅲ）假設存在滿足條件的實數， 由（Ⅱ）知

∴，，又.

即的邊長分別是、、 .    ---------------14分

∴，

故存在實數m使的邊長是連續的自然數。---------------16分