Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）e^x的定義域為（-2，t）（t＞-2）
（1）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在（-2，t）上為單調函數．
（2）求證：對于任意t＞-2，總存在x₀滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2并確定這樣的x₀個數．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（x²-3x+3）•e^x，知f′（x）=（x²-x）e^x，令f′（x）≥0，則x≥1或x≤0，由此能夠確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[-2，t]上為單調函數．
（2）先將x₀代入f'（x）求出

f′(x0)

ex0

=x²-x₀，然后轉化成方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有解的問題，分類討論確定x₀的個數．

解答：解：（1）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x=0，得x=0或x=1
由f′（x）＞0⇒x＜0，或x＞1；f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴要使f（x）在（-2，t）上為單調函數，則-2＜t≤0．（6分）
（2）∵

f′(x0)

ex0

=x

2 0

-x0，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
即為x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，從而問題轉化為證明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解并討論解的個數，
因為g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t-4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以當t＞4或-2＜t＜1時，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
當1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
當t=1時，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
當t=4時，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
且當t≥4或-2＜t≤1時，有唯一的x₀適合題意，
當1＜t＜4時，有兩個x₀適合題意．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、根的存在性及根的個數判斷，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．