Question

（2012•浙江）如圖，F₁，F₂分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的在左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F₁B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M．若|MF₂|=|F₁F₂|則C的離心（　　）

• A．

  2 3

  3

• B．

  6

  2

• C．

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：確定PQ，MN的斜率，求出直線PQ與漸近線的交點的坐標，得到MN的方程，從而可得M的橫坐標，利用|MF₂|=|F₁F₂|，即可求得C的離心率．

解答：解：|OB|=b，|O F₁|=c．∴k_PQ=

b

c

，k_MN=-

c

b

．
直線PQ為：y=

b

c

（x+c），兩條漸近線為：y=±

b

a

x．
由

y= b c (x+c) y= b a x

，得Q（

ac

c-a

，

bc

c-a

）；由

y= b c (x+c) y=- b a x

得P(

-ac

c+a

，

bc

c+a

)．
∴直線MN為y-

bc2

c2-a2

=-

c

b

(x-

a2c

c2-a2

)，
令y=0得：x_M=c(1+

a2

b2

)．
又∵|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴3c=x_M=c(1+

a2

b2

)，
∴3a²=2c²
解之得：e2=

3

2

，即e=

6

2

．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的幾何形狀，考查解方程組，考查學生的計算能力，屬于中檔題．