Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的動點，F是AB的中點，AC=BC=2，AA₁=4．
（1）當E是棱CC₁的中點時，求證：CF∥平面AEB₁；
（2）在棱CC₁上是否存在點E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°？若存在，求出CE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB₁中點M，連接EM、FM，在△AB₁B中根據中位線定理，得MF∥B₁B且MF=B₁B，在矩形BB₁C₁C中，CE∥B₁B且CE=B₁B，得到四邊形MFCE是平行四邊形，CF∥EM，從而證出CF∥平面AEB₁；
（2）以CA、CB、CC₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設CE=m，得到A、B₁和E各點的坐標，根據垂直向量的數量積為零的方法列方程組并解之，得到平面AEB₁的法向量為=（m，m-4，2），再由題意得到平面AEB₁的法向量和平面EB₁B的法向量夾角的余弦絕對值為，由此建立關系式，可解出m=，從而得出存在點滿足條件的點E．
解答：解：（1）取AB₁中點M，連接EM、FM-----------------（1分）
∵△AB₁B中，M、F分別是AB、AB₁的中點，
∴MF∥B₁B且MF=B₁B，
又∵矩形BB₁C₁C中，CE∥B₁B且CE=B₁B，
∴MF∥CE且MF=CE，可得四邊形MFCE是平行四邊形-------------（4分）
∴CF∥EM
∵CF?平面EAB₁，EM⊆平面EAB₁，
∴CF∥平面AEB₁----------------------（6分）
（2）以CA、CB、CC₁為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系，
可得A（2，0，0），B₁（0，2，4），設CE=m，得E（0，0，m）
∴=（-2，0，m），=（-2，2，4）
設平面AEB₁的法向量為=（x，y，z）
則有，解之并取z=2，得=（m，m-4，2）

∵平面EB₁B的法向量為=（2，0，0），-------------------（8分）
∴當二面角A-EB₁-B的大小是45°時，有
cos＜，＞==，解之得m=．
因此，在棱CC₁上存在點E，當CE=時，二面角A-EB₁-B的大小是45°．-------------（12分）
點評：本題在直三棱柱中，求證線面平行并探索二面角的大小能否為45度，著重考查了直線與平面垂直的判定、用空間向量研究二面角的大小等知識點，屬于中檔題．