Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2|x|．
（Ⅰ）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（-1，0）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的定義域是R，再利用偶函數(shù)的定義，可以證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）利用單調(diào)性的證題步驟：取值，作差，變形，定號，下結(jié)論即可證明函數(shù)f（x）在（-1，0）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

解答：（Ⅰ）解：是偶函數(shù)． 
證明：函數(shù)的定義域是R，
∵f（-x）=（-x）²-2|-x|=x²-2|x|=f（x）
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）解：是單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）=x²+2x
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0，則x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0
∵f(x1)-f(x2)=(

x

2 1

-

x

2 2

)+2(x1-x2)=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在（-1，0）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定義是關(guān)鍵．