Question

【題目】【2017河北唐山三模】已知函數， .

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數在區間有唯一零點，證明： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導得， 分， ， ，三種情況討論可得單調區間.

（Ⅱ）由（1）及可知：僅當極大值等于零，即且

所以，且，消去得，構造函數，證明單調且零點存在且唯一即可.

試題解析：（Ⅰ） ， ，

令， ，

若，即，則，

當時， ， 單調遞增，

若，即，則，僅當時，等號成立，

當時， ， 單調遞增.

若，即，則有兩個零點， ，

由， 得，

當時， ， ， 單調遞增；

當時， ， ， 單調遞減；

當時， ， ， 單調遞增.

綜上所述，

當時， 在上單調遞增；

當時， 在和上單調遞增，

在上單調遞減.

（Ⅱ）由（1）及可知：僅當極大值等于零，即時，符合要求.

此時， 就是函數在區間的唯一零點.

所以，從而有，

又因為，所以，

令，則，

設，則，

再由（1）知： ， ， 單調遞減，

又因為， ，

所以，即