Question

已知數列滿足：且.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，數列的前項和為，求證:時，且

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）由
令，然后用迭加法求出數列的通項公式，最后求數列的通項公式；
（2）由（1）知，寫出及并化簡，利用函數的思想解決與數列有關的不等式問題.
解:（1）易知:,
令得,
若,則

當時,也滿足上式,故
所以     6分
（2）易知： 



    8分
先證不等式時,
令,則
∴在上單調遞減,即
同理:令,則
∴在上單調遞增,即,得證.
取,得,所以

                14分