Question

已知x，y，z∈R⁺，求證：
（1）（x+y+z）³≥27xyz；  
（2）(

x

y

+

y

z

+

z

x

)(

y

x

+

z

y

+

x

z

)≥9；  
（3）（x+y+z）（x²+y²+z²）≥9xyz．

Answer 1

分析：利用基本不等式，結合不等式的性質，即可證明結論．

解答：證明：（1）∵x，y，z∈R⁺，∴x+y+z≥3

3	xyz

，當且僅當x=y=z時，取等號，∴（x+y+z）³≥27xyz；  
（2）∵x，y，z∈R⁺，∴

x

y

+

y

z

+

z

x

≥3

3	x y • y z • z x

=3，

y

x

+

z

y

+

x

z

≥3

3	y x • z y • x z

=3，當且僅當x=y=z時，取等號，
∴兩式相乘，可得(

x

y

+

y

z

+

z

x

)(

y

x

+

z

y

+

x

z

)≥9；
（3））∵x，y，z∈R⁺，∴x+y+z≥3

3	xyz

，x²+y²+z²≥3

3	x2y2z2

，當且僅當x=y=z時，取等號，
∴兩式相乘可得（x+y+z）（x²+y²+z²）≥9xyz．

點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．