Question

已知點A、B、C是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的三點，其中點A的坐標為(2

3

，0)，BC過橢圓M的中心，且

CA

•

CB

=0，2|

CA

|=|

CB

|．
（I）求橢圓M的方程；
（II）過點M(0，

3

2

)且不垂直于坐標軸的直線l與橢圓M交于兩點E、F，設D為橢圓M與y軸負半軸的交點，且|

DE

|=|

DF

|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）根據點A的坐標為(2

3

，0)，可知A是長軸端點，利用2|

CA

|=|

CB

|且BC過橢圓M的中心，可確定C點坐標代入方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，即可求得橢圓方程；
（II）設直線l的方程為y=kx+

3

2

，由

y=kx+ 3 2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y可得（1+3k²）x²+9kx-

21

4

=0，求出EF的中點N的坐標為（-

9k

2(1+3k2)

，

3

2(1+3k2)

），利用|

DE

|=|

DF

|，可得k_DN•k=-1，從而求出直線的斜率，即可求得直線l的方程．

解答：解：（I）由點A是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點，點A的坐標為(2

3

，0)，可知：A是長軸端點故：a=2

3

又2|

CA

|=|

CB

|且BC過橢圓M的中心（0，0），∴|BC|=2|0C|=2|0B|，|AC|=|OC|，
∵

CA

•

CB

=0，∴AC⊥BC，∴∠AOC=

π

4

，
∵|OA|=2

3

，∴C點坐標為（

3

，

3

）
代入方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)得：

3

12

+

3

b2

=1
∴b²=4，b=2，
∴橢圓方程為：

x2

12

+

y2

4

=1
（II）設直線l的方程為y=kx+

3

2

，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
由

y=kx+ 3 2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y可得（1+3k²）x²+9kx-

21

4

=0
∴x₁+x₂=-

9k

1+3k2

，∴y₁+y₂=

3

1+3k2

∴EF的中點N的坐標為（-

9k

2(1+3k2)

，

3

2(1+3k2)

）
∵D（0，-2）
∴kDN=

3 2(1+3k2) +2

- 9k 2(1+3k2)

=-

7+12k2

9k

∵|

DE

|=|

DF

|
∴k_DN•k=-1
∴-

7+12k2

9k

×k=-1
∴k2=

1

6

∴k=±

6

6

∴直線l的方程為y=±

6

6

x+

3

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將|

DE

|=|

DF

|，轉化為k_DN•k=-1進行求解．