Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一個根為S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）證明：數列{

1

Sn-1

}是等差數列；
（2）設方程x²-a_nx-a_n=0的另一個根為x_n，數列{

1

2nxn

}的前n項和為T_n，求2²⁰¹³（2-T₂₀₁₃）的值；
（3）是否存在不同的正整數p，q，使得S₁，S_p，S_q成等比數列，若存在，求出滿足條件的p，q，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由S_n-1是方程x²-a_nx-a_n=0的根，代入可得s_n與a_n的遞推關系，令n=1可求a₁，n≥2，利用a_n=S_n-S_n-1，化簡得S_nS_n-1-2S_n+1=0，構造即可證明
（2）由（1）可求

1

sn-1

，帶入方程可求a_n，進而可求x_n，代入利用錯位相減可求T_n，進而可求
（3）由（1）可求S_n，假設存在不同的正整數p，q使得S₁，S_p，S_q成等比數列，結合等比數列的性質代入可求滿足條件的p，q

解答：解：（1）證明∵S_n-1是方程x²-a_nx-a_n=0的根，n=1，2，3，…
∴(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0
當n=1時，a₁=S₁，
∴(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，
解得S1=a1=

1

2

，
∴

1

S1-1

=-2…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
∴(Sn-1)2-(Sn-Sn-1)(Sn-1)-(Sn-Sn-1)=0
化簡得S_nS_n-1-2S_n+1=0，
∴Sn=

-1

Sn-1-2

，
∴

1

Sn-1

=

1

Sn-1-1

-1，
∴

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1，又

1

S1-1

=-2…（5分）
∴數列{

1

Sn-1

}是以-2為首項，-1為公差的等差數列          …（6分）
（2）由（1）得，

1

Sn-1

=-2-(n-1)=-n-1
∴Sn-1=-

1

n+1

，帶入方程得，(-

1

n+1

)2-an(-

1

n+1

)-an=0，∴an=

1

n(n+1)

，
∴原方程為x2-

1

n(n+1)

x-

1

n(n+1)

=0，
∴xn=

1

n

，
∴

1

2nxn

=

1

n2n

…（8分）
∴Tn=

1

1×21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

…（11分）Tn=2-

2+n

2n

，
∴2²⁰¹³（2-T₂₀₁₃）=2015…（12分）
（3）由（1）可得S_n=

n

n+1

假設存在不同的正整數p，q使得S₁，S_p，S_q成等比數列
則sp2=s1•sq
即(

p

p+1

)2=

q

2(q+1)

∵

q

2(q+1)

=

1

2

-

1

2(q+1)

＜

1

2

（14分）
∴(

p

p+1

)2＜

1

2

化簡可得，p²-2p-1＜0
∴1-

2

＜p＜1+

2

∵p∈N^*且p＞1
∴p=2
∴

q

2(q+1)

=

4

9

∴q=8
∴存在不同的正整數p=2，q=8使得S₁，S_p，S_q成等比數列（16分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式及數列的錯位相減求和方法的應用，等比數列的性質的綜合應用．