Question

【題目】已知拋物線E：y2＝8x，圓M：(x－2)2＋y2＝4，點N為拋物線E上的動點，O為坐標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)點Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點，求△QAB面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) y2＝4x;(2) .

【解析】

試題分析: (1)利用代入法求出曲線方程;(2)設切線方程為y－y0＝k(x－x0).圓心到切線的距離為半徑,根據點到直線的距離公式列出等式,整理成關于k的一元二次方程,根據韋達定理表示出面積,利用函數的單調性求出最值.

試題解析:(1)設P(x，y)，則點N(2x，2y)在拋物線E：y2＝8x上，∴4y2＝16x，∴曲線C的方程為y2＝4x.

(2)設切線方程為y－y0＝k(x－x0).

令y＝0，得x＝x0－.

圓心(2，0)到切線的距離d＝＝2，

整理得(x－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y－4＝0.

設兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2＝，k1k2＝.

∴△QAB面積S＝·|y0|＝

y＝2·.

設t＝x0－1∈[4，＋∞)，則S＝f(t)＝2在[4，＋∞)上單調遞增，且f(4)＝，

∴f(t)≥，即△QAB面積的最小值為.