Question

已知函數f（x）=alnx-bx²圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在內有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數的底）．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，根據f'（2）=-3得到關于a、b的關系式，再將x=2代入切線方程得到f（2）的值從而求出答案．
（2）由（1）確定函數f（x）的解析式，進而表示出函數h（x）后對其求導，根據單調性與其極值點確定關系式得到答案．
解答：解（1），，f（2）=aln2-4b．
∴，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（2）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在內，當x∈時，h'（x）＞0，∴h（x）是增函數；
當x∈（1，e]時，h'（x）＜0，∴h（x）是減函數．
則方程h（x）=0在內有兩個不等實根的充要條件是
即1＜m≤．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．