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證明一個角的平分線的平行射影不一定是該角平行射影的角平分線.

圖3-1-5

證明:設OC為∠AOB的平分線,在OC上任取一點P,作PD⊥OA于D,PE⊥OB于E.

顯然必存在一平面α∥PD而不平行于PE,將該角向平面α作正射影,

則PD=P′D′,PE＞P′E′.

∵PD=PE,

∴P′D′＞P′E′,即P′不在∠A′O′B′的角平分線上.

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）若橢圓的方程是：

=1（a＞b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是橢圓上異于長軸端點的任意一點．在此條件下我們可以提出這樣一個問題：“設△PF₁F₂的過P角的外角平分線為l，自焦點F₂引l的垂線，垂足為Q，試求Q點的軌跡方程？”
對該問題某同學給出了一個正確的求解，但部分解答過程因作業本受潮模糊了，我們在

這些模糊地方劃了線，請你將它補充完整．
解：延長F₂Q 交F₁P的延長線于E，據題意，
E與F₂關于l對稱，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=

，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，
所以|OQ|=

|EF₁|=

，
注意到P是橢圓上異于長軸端點的點，所以Q點的軌跡是

，
其方程是：

．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：

=1（a，b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實軸端點的任意一點．請你試著提出與（1）類似的問題，并加以證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•山東）橢圓C：

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點分別是F₁，F₂，離心率為

，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF₁，PF₂，設∠F₁PF₂的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，若k≠0，試證明

kk1

kk2

為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數學 來源：2013年普通高等學校招生全國統一考試(山東卷)、理科數學 題型：044

橢圓C：的左、右焦點分別是F₁．F₂，離心率為過F，且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l．