Question

（2012•黃浦區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=2

3

sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-

5π

12

，

π

3

]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x+

π

6

)-1，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z求得x的范圍，即可求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（2）根據(jù)x∈[-

5π

12

，

π

3

]，求出-

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，結(jié)合圖象得到-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，從而求得函數(shù)f（x）的取值范圍．

解答：解（1）∵f(x)=2

3

sinx•cosx+cos2x-1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)-1．（2分）
解2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．   　　　　　　 （6分）
（2）∵x∈[-

5π

12

，

π

3

]，
∴-

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

．          （7分）
考察函數(shù)y=sinx，易知，-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，（8分）
∴-3≤2sin(2x+

π

6

)-1≤1，
∴函數(shù)f（x）的取值范圍是[-3，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．