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(2012•黃浦區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若x∈[-
12
,
π
3
]
,求f(x)的取值范圍.
分析:(1)利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1
,由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈Z
求得x的范圍,即可求得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間
(2)根據(jù)x∈[-
12
,
π
3
]
,求出-
3
≤2x+
π
6
6
,結(jié)合圖象得到-1≤sin(2x+
π
6
)≤1
,從而求得函數(shù)f(x)的取值范圍.
解答:解(1)∵f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-1
,
f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1
.(2分)
2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈Z
,得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,k∈Z

∴函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
],k∈Z
.          (6分)
(2)∵x∈[-
12
,
π
3
]

-
3
≤2x+
π
6
6
.          (7分)
考察函數(shù)y=sinx,易知,-1≤sin(2x+
π
6
)≤1
,(8分)
-3≤2sin(2x+
π
6
)-1≤1
,
∴函數(shù)f(x)的取值范圍是[-3,1].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用,正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黃浦區(qū)二模)已知α、β∈(0,
π
2
),若cos(α+β)=
5
13
,sin(α-β)=-
4
5
,則cos2α=
63
65
63
65

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黃浦區(qū)二模)對(duì)n∈N*,定義函數(shù)fn(x)=-(x-n)2+n,n-1≤x≤n.
(1)求證:y=fn(x)圖象的右端點(diǎn)與y=fn+1(x)圖象的左端點(diǎn)重合;并回答這些端點(diǎn)在哪條直線上.
(2)若直線y=knx與函數(shù)fn(x)=-(x-n)2+n,n-1≤x≤n(n≥2,n∈N*)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),試將kn表示成n的函數(shù).
(3)對(duì)n∈N*,n≥2,在區(qū)間[0,n]上定義函數(shù)y=f(x),使得當(dāng)m-1≤x≤m(n∈N*,且m=1,2,…,n)時(shí),f(x)=fm(x).試研究關(guān)于x的方程f(x)=fn(x)(0≤x≤n,n∈N*)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)(這里的kn是(2)中的kn),并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黃浦區(qū)二模)如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黃浦區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=|x2-2ax+a|(x∈R),給出下列四個(gè)命題:
①當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí),f(x)是偶函數(shù);
②函數(shù)f(x)一定存在零點(diǎn);
③函數(shù)在區(qū)間(-∞,a]上單調(diào)遞減;
④當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為a-a2
那么所有真命題的序號(hào)是
①④
①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黃浦區(qū)二模)函數(shù)f(x)=log
1
2
(2x+1)
的定義域?yàn)?!--BA-->
(-
1
2
,+∞)
(-
1
2
,+∞)

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