Question

已知函數f(x)=cos2

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求函數的最小正周期和值域；
（Ⅱ）求函數取到最大值時的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡函數f（x）的解析式為

2

2

cos(x+

π

4

)，由此求得它的周期．
（Ⅱ）由函數f（x）的解析式可得當x+

π

4

=2kπ時，k∈z，函數取得最大值，由此可得函數取到最大值時的x的取值集合

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos2

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1+cosx

2

-

sinx

2

-

1

2

…（2分）
=

cosx-sinx

2

=

2

2

cos(x+

π

4

)．…（4分）
所以T=2π，f(x)∈[-

2

2

，

2

2

]．…（6分）
（Ⅱ）由于函數f（x）=

2

2

cos(x+

π

4

)，故當x+

π

4

=2kπ時，k∈z，即當 x=2kπ-

π

4

時，k∈z，
函數f（x）取得最大值為

2

2

，故有函數取到最大值時的x的取值集合為 {x|x=2kπ-

π

4

時，k∈z}．

點評：本題主要考查二倍角公式、誘導公式的應用，余弦函數的周期性和最大值，屬于中檔題．