Question

某正四面體的俯視圖是如圖所示的邊長為2正方形ABCD，這個正四面體外接球的體積是

4

3

π

．

Answer 1

分析：由正四面體的俯視圖是邊長為2的正方形，所以此四面體一定可以放在棱長為2的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的體積．

解答：解：∵正四面體的俯視圖是如圖所示的邊長為2正方形ABCD，
∴此四面體一定可以放在正方體中，
∴我們可以在正方體中尋找此四面體．
如圖所示，四面體ABCD滿足題意，
所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
由題意可知，正方體的棱長為2，所以外接球的半徑為R=

2 3

2

=

3

，
所以此四面體的外接球的體積V=

4

3

×π×(

3

)3=4

3

π．
故答案為：4

3

π．

點評：本題的考點是由三視圖求幾何體的體積，需要由三視圖判斷空間幾何體的結構特征，并根據三視圖求出每個幾何體中幾何元素的長度，代入對應的體積公式分別求解，考查了空間想象能力．