Question

已知函數f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e為偶函數，它的圖象過點A（0，-1），且在x=1處切線斜率為-2，x=

3

2

是f（x）的一個極值點
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求f（x）的單調增區間；
（3）若對任意x∈R，不等式f（x）≤m（x²+1）都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據f（x）為偶函數，求出b和d的值，再根據函數的圖象經過點（0，-1）求出e，然后根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，建立一等量關系，再根據切點在曲線上建立一等式關系，解方程組即可求得結果；
（2）先求導函數f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函數的單調增區間；
（3）根據對任意x∈R，不等式f（x）≤m（x²+1）總成立，分離參數可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤m恒成立，進而轉化為求函數g（x）=

-2x4+3x2-1

x2+1

的最大值即可，利用換元法和基本不等式即可求得結果．

解答：解：（1）∵f（x）為偶函數，∴由f（-x）=f（x）恒成立得b=0，d=0
∴f（x）=ax⁴+cx²+e，又過A（0，-1），∴e=-1，又f′（x）=4ax³+2cx
依題知

4a+2c=-2 4a× 3 4 × 3 2 + 3 2 ×2c=0

，

a=-2 c=3

，
∴f（x）=-2x⁴+3x²-1
（2）f′(x)=-8x3+6x=-2x(2x+

3

)(2x-

3

)      
令f′（x）＞0，則x＜-

3

2

或0＜x＜

3

2

，
故f（x）的單調增區間為（-∞，-

3

2

），（0，

3

2

），
（3）由f（x）≤m（x²+1）恒成立，且x²+1恒大于0
∴

-2x4+3x2-1

x2+1

≤m恒成立，
令g（x）=

-2x4+3x2-1

x2+1

，t=x²+1≥1，
∴g(x)=

-2t2+7t-6

t

=7-2(t+

3

t

)≤7-4

3

，
當且僅當t=

3

時，g(x)=7-4

3

，
∴g(x)max=7-4

3

，
故m的取值范圍為[7-4

3

，+∞)．

點評：本題注意考查待定系數法求函數的解析式，以及分離參數的方法解決函數恒成立的問題，在解題時注意導數的幾何意義的應用和基本不等式求最值應注意的問題，考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．