Question

已知函數f（x）=x³-3ax+b（a，b為實常數）．
（Ⅰ）若，求函數f（x）圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當b=0時，設g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值H（a）．

Answer 1

【答案】分析：（I）先確定函數的表達式，然后求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由直線的方程求出切線方程即可；
（II）研究g（x）=|x³-3ax|（x∈[-1，1]）是偶函數，所以只要求出g（x）=|x³-3ax|（x∈[0，1]）的最大值問題即可，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值．
解答：解：（Ⅰ）當時，f（x）=x³-x+2，∴f（1）=2，f′（x）=3x²-1．
∴曲線y=f（x）在點（1，2）處切線斜率為f′（1）=2，（2分）
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x．（3分）
（Ⅱ）顯然g（x）=|x³-3ax|（x∈[-1，1]）是偶函數，
所以只要求出g（x）=|x³-3ax|（x∈[0，1]）的最大值即可．又f'（x）=3（x²-a），
①a＜0時，f（x）在[0，1]上為增函數，∴f（x）≥f（0）=0．
∴f（x）=g（x），∴H（a）=f（1）=1-3a．（5分）
②a＞0時，則在[0，1]上．
（i）即a≥1時，則在[0，1]上f（x）為減函數，
∴f（x）≤f（0）=0，∴g（x）=-f（x），
∴H（a）=-f（1）=3a-1．（7分）
（ii）0＜a＜1時，則在[0，1]上．

則可以畫出g（x）的草圖如下，并且由圖可知：

當即時，g（x）的最大值
當即時，g（x）的最大值H（a）=f（1）=1-3a
綜上所述：．（12分）．
點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的極值、利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．